Bianchi.gp : calcul de domaine fondamental pour les groupes de Bianchi dans l'espace hyperbolique

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Fiche dév Ens Sup - Recherche
  • Création ou MAJ importante : 24/10/11
  • Correction mineure : 07/11/11
  • Auteur de la fiche : Alexander D. Rahm (Weizmann Institute of Science - Department of Mathematics et UJF)
  • Responsable thématique : Teresa Gomez-Diaz (LIGM)
Mots-clés
Fonctionnalités générales du logiciel

Ce programme effectue des calculs de la géométrie d’une certaine classe de groupes arithmétiques (les groupes de Bianchi), à travers une action propre sur un espace contractile. Nous accédons à leur homologie de groupe.

Plus en détail, considérons un corps de nombres quadratique imaginaire Q(√−m), où m est un entier positif ne contenant pas de carré. Soit A(m) son anneau d’entiers. Les groupes de Bianchi sont les groupes SL_2(A(m)).

Un éventail d’informations sur les groupes de Bianchi peut être trouvé dans les monographies de Elstrodt/Grunewald/Mennicke, Benjamin Fine, Maclachlan/Reid, etc. Ces groupes agissent d’une manière naturelle sur l’espace hyperbolique à trois dimensions, qui est isomorphe à l’espace symétrique qui leur est associé.

Le noyau de cette action est le centre {±1} des groupes, ce qui rend utile l’étude du quotient par le centre, PSL_2(A(m)), que nous appellerons également un groupe de Bianchi.

En 1892, Luigi Bianchi a calculé des domaines fondamentaux pour cette action pour quelques uns de ces groupes. Un tel domaine fondamental est de la forme d’un polyèdre hyperbolique (à quelques sommets manquants près), et nous l’appellerons le polyèdre fondamental de Bianchi. Le calcul du polyèdre fondamental de Bianchi a été implémenté dans ce programme pour tous les groupes de Bianchi.

Les images sous SL_2(A(m)) des faces de ce polyèdre munissent l’espace hyperbolique d’une structure cellulaire. Pour mieux observer la géométrie locale, nous passons au complexe cellulaire raffiné, que nous obtenons en subdivisant cette structure cellulaire jusqu’à ce que les stabilisateurs dans SL_2(A(m)) fixent les cellules point par point. Nous pouvons exploiter ce complexe cellulaire de différentes manières, afin de cerner des aspects différents de la géométrie de ces groupes.

Contexte d’utilisation du logiciel

Ce programme est basé sur le système d'algèbre sur ordinateur Pari/GP, qui est un logiciel libre.

Il faut installer la version 2.4.3 ou plus récent pour pouvoir utiliser Bianchi.gp.

Publications liées au logiciel

The homological torsion of SL_2 of the imaginary quadratic integers, Alexander D. Rahm, Accepted for publication at the Transactions of the AMS.

Homologie et K-théorie des groupes de Bianchi, Alexander D. Rahm, Note bilingue anglais/francais, Comptes Rendus Mathématique of the Académie des Sciences - Paris, Volume 349, Issues 11-12, June 2011, Pages 615-619, doi:10.1016/j.crma.2011.05.014 .

The integral homology of PSL_2 of imaginary quadratic integers with nontrivial class group, Alexander D. Rahm et Mathias Fuchs, Journal of Pure and Applied Algebra, DOI: 10.1016/j.jpaa.2010.09.005 .

(Co)homologies et K-théorie de groupes de Bianchi par des modèles géométriques calculatoires, Alexander D. Rahm, Thèse de Doctorat, Université de Grenoble et Universität Göttingen, 2010.
Archivée sur le serveur TEL du CNRS.

On level one cuspidal Bianchi modular forms, Alexander D. Rahm et Mehmet Haluk Sengun, preprint sur HAL et arXiv.